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$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Soit $E$ un ensemble, $\mathcal R$ une relation sur $E$. On dit que $\mathcal R$ est une relation d'ordre si :

  • $\mathcal R$ est réflexive : si $x$ est élément de $E$, $x\mathcal R x$.
  • $\mathcal R$ est antisymétrique : si $x\mathcal R y$ et $y \mathcal R x$, alors $x=y$.
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  • $\mathcal R$ est transitive : si $x\mathcal R y$ et $y \mathcal R z$, alors $x\mathcal R z$.
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L'ensemble $(E,\mathcal R)$ s'appelle alors ensemble ordonné. Souvent, pour insister sur la notion d'ordre, $\mathcal R$ est notée $\leq$.

Exemples 2019 Women Basket Heart©lulandcoShoes Puma Sneakers En shdxQtCr :

Dans toute la suite, $(E,\leq)$ désigne un ensemble ordonné. Deux éléments $x$ et $y$ de $E$ sont dits comparablesAsics 23 For Gym Trainingamp; Shoes Ds Gel Men Trainer 54RALj3 si $x\leq y$ ou bien $y\leq x$. L'ordre est dit total si deux éléments sont toujours comparables (on dit aussi que l'ensemble est totalement ordonné). Dans le cas contraire, il est dit partiel.

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Un élément $a$ de $E$ est appelé élément maximal si $a\leq x$ implique $x=a$. De même, a est appelé élément minimal si $x\leq a$ implique $x=a$. Un plus petit élément 2019 Women Basket Heart©lulandcoShoes Puma Sneakers En shdxQtCr de $E$ est un élément a tel que pour tout $x$ de $E$, $a\leq x$. On définit de même un plus grand élément. De tels éléments n'existent pas toujours. On peut remarquer qu'un plus grand élément est un élément maximal, mais que la réciproque est fausse : par exemple, dans $(\mathbb N^*,|)$, 3 est élément minimal, mais ce n'est pas un plus petit élément.

Si $A$ est une partie de $E$, un majorant de $A$ est un élément $x$ de $E$ tel que pour tout $a$ de $A$, $a\leq x$. La borne supérieure de $A$ est définie comme le plus petit des majorants : elle n'existe pas toujours, ou bien parce qu'il n'existe pas de majorant, ou bien parce que l'ensemble des majorants n'admet pas de plus petit élément. On définit de même un minorant et la 2019 Women Basket Heart©lulandcoShoes Puma Sneakers En shdxQtCr borne inférieure d'un ensemble. Par construction de $\mathbb R$;, tout ensemble non vide majoré de $\mathbb R$ possède une borne supérieure.

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